12년간 내 벽에 걸려 있던 그 프랙탈

• 중학생 시절 필자의 낙서에서 출발한 프랙탈 도형(“wallflower”) 은 일반적인 방법과는 다른 방식으로 생성된 독특한 구조임
• 이 프랙탈의 생성 과정에서 L-시스템과 행렬 기반 위치 인코딩을 통해 수학적으로 그 특징을 설명할 수 있음을 탐구함
• 행렬식이 ±5인 특정 행렬을 활용하면 도형의 크기 변화와 회전, 그리고 공간 내 반복적 배치를 효과적으로 설명할 수 있음
• 2차원 뿐 아니라 3차원·4차원 일반화 가능성을 시도하며, 고차원에서는 대칭성과 패킹 효율을 고려한 행렬 설계가 중요함
• 프랙탈, 선형대수, 숫자 체계 등이 상호 연결됨을 발견했고, 이러한 탐구의 과정 자체가 창의적 문제 해결의 가치를 보여줌

들어가며: 벽에 걸린 프랙탈의 비밀

• 필자는 중학교 시절 그래프 종이에 네모를 복제, 회전하며 채우는 낙서(나중에 “wallflower”라 명명함)를 발견하고, 오랜 세월 동안 관심을 두었음
• 구조가 특이해 수학적으로 깊은 의미가 있다고 생각했으나 당시에는 분석하지 못했음
• 이후 수학적 지식이 늘어난 현재, 과거의 자신이 남긴 문제에 대한 탐구를 본격적으로 시작함

프랙탈 그리기 방법

1. 정사각형 하나에서 시작
2. 현재 도형을 각각 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 한 번씩 복제하여 배치
3. 이후, 기존 상태를 약 27도 시계방향으로 약간씩 회전시켜 네 방향에 또 복사해서 배치
4. 2, 3번 단계를 반복해 종이를 가득 채움

• 이런 식으로 하면 꽃처럼 퍼지는 프랙탈이 만들어짐
• 이 과정 자체도 Gosper Curve와 유사하게 무한히 반복하면 평면 전체를 덮을 수 있음

L-시스템을 통한 프랙탈 경계선 생성

• L-시스템(문자열 치환 규칙) 방식도 적용 가능: R(오른쪽) 또는 L(왼쪽) 90도 회전만 사용
• 초기 규칙: RRRR에서 시작, 치환은 R→RLR, L→RLL로 진행
• L-시스템으로 구현한 경계와 중학교 시절 방식의 경계는 4항부터 주요 차이가 발생함
  • Drag and drop 방법은 각 복사본의 배치가 다름
  • L-시스템 방식은 대각선 방향 복사가 특징임

이미지 없는 wallflower의 특징

• Drag and drop 방식으로 생성되는 wallflower는 인터넷 상 어디에도 흔히 등장하지 않음
• 치환 규칙 L→RLR, R→LLR에 의해 방향이 반복적으로 반전되는 특성이 있음
• 복사본의 배치 각도(“27도”)와 행렬 구조, L-시스템 치환 규칙의 연관성이 있음

수를 매기는 법(프랙탈의 위치 인코딩)

• Cantor 쌍 함수처럼, 프랙탈 내부의 각 네모에 숫자를 매겨 공간을 효율적으로 파악 가능
• 각 반복마다 5의 배수, 5의 거듭제곱 등과 밀접하게 연관되며, 효율적 인코딩을 위해 5진법을 적용함
• 왼쪽과 오른쪽의 복사 패턴을 보면, “200만큼 더하기”와 같이 기하학적 이동과 덧셈의 연결성을 발견할 수 있음

행렬과 프랙탈의 공간적 의미

• 위치 벡터를 행렬곱으로 표현하여, 각 자리수(자릿값)마다 matrix power가 적용됨
• 예시 행렬 M=[−2 1; 1 2], 행렬식 det(M)=-5인 경우 방향이 반복적으로 반전
• M′=[2 1; -1 2], det(M′)=5인 행렬로 생성하면 일반적인 Gosper류 프랙탈과 유사한 구조가 만들어짐
• 행렬식의 절댓값이 프랙탈의 크기 성장 비율 및 공간 충전 효율성과 정확히 일치함
  • 행렬식이 크면 공간이 비게 되고, 작으면 충돌
  • 각 행렬의 열벡터가 반드시 정수여야 전체 좌표망에 정확히 맞출 수 있음
• 벡터 |1,2|의 각도 계산 arctan(2/1) ≈ 63.43도 → 축에서 “27도” 떨어진 이유가 바로 여기에 있음

프랙탈을 통한 덧셈 구조 탐구

• 간단히 벡터 합성만으로 모든 위치를 예측할 수는 없음 (예, →2+→2≠→4)
• 1~4까지 각 방향(상, 우, 하, 좌)로 해석하며, 2차원적 “자리 올림”이 등장함
• generalized balanced ternary 등과 연결되어 2D/고차원 숫자 체계와 고정점 없는 구조를 도출할 수 있음

고차원(3D, 4D) 일반화 가능성

3차원 확장 시도

• 3x3 행렬에서 각 열벡터가 정수, Hamming 거리 3, 행렬식 ±7을 만족해야 함
• 실제로 시각화 시 특정 영역이 비게 되며, 완벽한 배열은 불가능함
• 추가 복사본(새로운 위치에 “플러스 모양”)으로 부분 보완 가능하지만 완전한 대칭은 어려움

4차원 확장

• 4x4 행렬에서 각 열벡터가 정수, 세 자리 ±1·한 자리 0인 조건을 만족
• 4차원에서 “orthotopeflower”라는 새로운 프랙탈 구조가 가능함
• 7x7 그리드의 7x7 그리드로 전체 구조를 평면상에 효과적으로 시각화 가능

고차원 일반화의 한계

• 행렬, 크기 성장 조건, 정수사이 벡터 등의 제약을 종합해 보면 1, 2, 4차원에서만 이 구조가 타당함
• 그 이상 차원에서는 모든 조건을 만족하는 정수 행렬 구성 불가능

기타 수 체계와의 연결

• Quater-imaginary base(허수 2i를 base로 하는 수체계)처럼, 행렬 기반 숫자체계에서 복소수·사원수까지 개념을 확장 가능
• 4D 행렬을 통한 quaternion 엔코딩(기저: i+j+k) 아이디어를 탐구했으나 완전히 엄밀한 검증은 후대의 자신에게 위임함

맺음말

• 한 개인의 오랜 기간에 걸친 프랙탈, 숫자체계 및 선형대수적 탐구가 아름다운 수학적 발견으로 이어짐
• 창의적인 사소한 낙서와 호기심이 실제로 깊은 원리를 밝히는 계기가 됨
• 탐구 과정의 우연성, 시행착오, 끈기를 통해 새로운 수학·컴퓨터 아이디어를 제시한 사례임
• 완벽하지 않은 시각화나 규칙의 오류 역시 탐구의 일부로 받아들이는 마음가짐을 강조함