숫자 2 네 개로 모든 정수 만들기 (2025)

숫자 2를 정확히 네 번 쓰고 다른 숫자 없이 수학 연산만으로 주어진 자연수를 만드는 퍼즐은, 허용하는 연산에 따라 다양한 수준에서 풀 수 있음 사칙연산에서 거듭제곱, 팩토리얼로 범위를 넓히거나 2를 이어 붙여 22나 222로 사용하면 더 많은 수를 만들 수 있음 만들기 까다로운 7도 감마 함수를 허용하면 (\Gamma(2)+2+2+2)로 표현할 수 있으며, 복소수를 활용하는 풀이도 있음 Paul Dirac의 일반해는 2에 제곱근을 (n)번 적용한 뒤 밑이 2인 로그를 두 번 취하고 부호를 바꿔 목표 자연수 (n)을 얻음 일반해에 쓰인 2는 세 개지만, 하나를 (\sqrt{2+2}) 로 바꾸면 정확히 네 개가 됨. (n)은 실제 식에 들어가는 숫자가 아니라 제곱근 반복 횟수를 나타냄 허용하는 연산에 따라 넓어지는 풀이 규칙은 숫자 2 네 개와 임의의 수학 연산을 사용해 목표 자연수를 만들되, 다른 숫자는 쓰지 않는 것임 사칙연산만으로도 1부터 6까지 만들 수 있음 (1=\frac{2+2}{2+2}), (2=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}), (3=2\cdot2-\frac{2}{2}) (4=2+2+2-2), (5=2\cdot2+\frac{2}{2}), (6=2\cdot2\cdot2-2) 거듭제곱과 팩토리얼을 허용하면 만들 수 있는 수의 범위가 크게 넓어짐 (18=2^{2^2}+2), (28=(2+2)!+2+2) (256=(2+2)^{2+2}), (65536=2^{2^{2^2}}) 숫자 이어 붙이기로 22를 2 두 개의 사용으로 인정하면 (26=22+2+2), (11=\frac{22}{\sqrt{2+2}}), (444=222\cdot2)도 가능함 만들기 까다로운 7은 감마 함수를 사용하면 (7=\Gamma(2)+2+2+2)로 간단히 만들 수 있음 관련 토론에는 적분, 순환소수, 조합 연산을 활용한 풀이도 있으며, 복소수를 사용하는 예로 (12=|2+2\sqrt{-2}|^2)가 있음 중첩 제곱근과 로그로 만드는 일반해 이 퍼즐은 1920년대 수학자들이 즐기던 놀이였던 것으로 보이며, Paul Dirac은 모든 목표 수에 적용할 수 있는 일반해를 찾음 핵심은 제곱근을 반복 적용하면 지수에 반복 횟수가 나타난다는 점임 (\sqrt{2}=2^{2^{-1}}) (\sqrt{\sqrt{2}}=2^{2^{-2}}) (\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{2^{-3}}) 따라서 제곱근을 (n)번 적용한 값은 ...