선으로 설명하는 선형대수 입문

• 이 글은 선형대수의 기본 개념을 삽화와 함께 소개하는 내용임
• 초반에는 가우시안 소거법과 행 그림 vs 열 그림 개념에 중점을 두어 설명함
• 현실적인 예시(동전, 음식)를 사용하여 선형방정식과 해를 찾는 과정을 쉽게 설명함
• 벡터와 행렬 표기법 등, 수열을 넘어선 수학적 사고방식의 전환 내용을 강조함
• 숫자 대신 배열, 벡터, 행렬을 다루는 것이 선형대수의 핵심임을 강조함

서론

이 글은 기존의 대수는 알지만 선형대수는 모르는 사람을 위한 입문 자료임.
처음 다루는 두 가지 중요한 개념은 가우시안 소거법(Gaussian elimination) 과 행 그림(row picture) vs 열 그림(column picture) 임.

돈 예제

• 다수의 니켈 동전(nickel)과 페니 동전(penny)이 있을 때 23센트를 만들기 위해 각 동전이 몇 개 필요한지 계산하는 문제 설명
• x는 니켈 개수, y는 페니 개수임. 식으로 만들면 x와 y의 값 조합으로 23을 만드는 선형방정식이 됨
• 이 예에서는 해가 여러 개 가능함 (예: 4개의 니켈과 3개의 페니, 또는 23개의 페니 등)
• 선형방정식(linear equation) 이란 곡선이나 구멍 없이, 모든 것이 평면에 있는 수식임을 강조함
• 변수 2개로 한 숫자에 맞추는 것은 쉽지만, 2개 변수로 두 숫자에 동시에 맞추는 상황이 나오면 복잡해지고, 이런 경우 가우시안 소거법이 유용하다는 점을 소개함

음식 예제

• 빵(bread)과 우유(milk)처럼 두 가지 음식이 있고, 각 음식의 탄수화물(carbs) 과 단백질(protein) 정보를 바탕으로 정해진 목표(예: 5g 탄수화물, 7g 단백질)를 맞추는 조합을 구하는 문제
• 이 경우 두 개의 방정식을 만들어 x(우유 개수), y(빵 개수) 값을 찾아야 함
• 이런 문제에 가우시안 소거법을 사용함

가우시안 소거법

• 두 개의 선형방정식으로 재작성한 뒤, 한 방정식의 일정 배수를 다른 방정식에 빼거나 더하여 변수를 하나씩 제거하면서 값을 좁히는 과정 설명
• 예제에서 y를 없애고 x값을 구한 뒤, 이를 다시 대입하여 y 값을 찾음
• 결과적으로 우유 3개, 빵 1개가 정답임
• 가우시안 소거법은 오랜 역사를 가진 일반적인 테크닉임을 언급함

그림으로 이해하는 방식

• 위에서 행 그림(row picture) 방식으로 풀었다면, 이제 그림/그래프를 통해 문제를 시각적으로 풀이
• 각 식을 x(우유) 기준으로 변환해 그래프상에 직선을 그림
• 첫 번째 식의 그래프는 목표 탄수화물을 만족하는 모든 우유-빵 조합(선 위의 점)임
• 두 번째 식도 동일하게 그림
• 두 목표를 동시에 달성하려면 두 직선이 교차하는 하나의 점이 정답임을 강조함
• 이 방법도 결론적으로 우유 3개, 빵 1개를 산출하게 됨
• 가우시안 소거법은 선형대수 없이도 2000여년 간 사용된 매우 기본적이면서도 필수적인 테크닉임을 설명함

열 그림 (Column Picture)

• 앞서는 각 식을 각각 보는 행 그림(row picture) 에 집중했으나, 이제는 열 그림(column picture) 방식 도입
• 두 식을 한 식으로 합치고, 계수를 배열(벡터) 로 표현함
• 벡터는 번호가 순서대로 있는 배열로 생각해도 무방함(컴퓨터 과학에서의 벡터와 유사)
• 벡터 그래프화: 벡터를 점으로 나타낼 수도 있고, 화살표로 나타낼 수도 있음
• 벡터간 덧셈을 시각적으로 보면, 정답으로 가는 경로(예: 우유 벡터 세 번, 빵 벡터 한 번의 덧셈)로 직관적으로 확인 가능함
• 벡터의 곱셈과 덧셈도 각각 벡터의 각 원소별 연산임을 설명함
• 벡터를 사용한 열 그림 방식은 여러 면에서 기존 방식보다 더 직관적일 수 있음

선형대수 알기

• 숫자 단위의 대수에서 배열, 벡터 중심의 대수로 발상 전환이 선형대수의 주요 내용임을 환기함
• 열 그림, 행 그림 모두 선형대수의 핵심적인 시각화 방법임
• 마지막으로 행렬(matrix) 표기법을 짧게 소개하며, 전체 시스템을 행렬 x 벡터 형태로 정리 가능함을 보여줌

다음 내용 예고

• 향후 챕터에서 행렬, 점곱(dot product) 등 선형대수의 중요 개념이 추가적으로 다뤄질 예정임
• 궁금하다면 구독을 제안함

추가 읽을거리 및 마무리

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