Erdos 281이 ChatGPT 5.2 Pro로 해결됨

• Erdős #281은 무한히 많은 합동식들을 어떻게 고르더라도, 그 어느 합동식에도 해당하지 않는 정수들이 거의 남지 않는 상황을 전제로 한 문제
• 이러한 상황이 참이라면, 실제로는 무한한 합동식을 모두 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 모든 정수가 걸러진다고 말할 수 있는지에 대한 것
• Neel Somani가 GPT-5.2 Pro를 사용해 이 질문에 대한 풀이를 제시했고, 여러 수학자들이 논리의 핵심 단계들을 중심으로 검토와 보완을 진행
• 개별 정수들을 직접 계산하는 방식 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 놓고 밀도와 극한의 성질을 이용해 문제를 다루는 접근 방식
• 같은 결론이 과거에 알려진 정리들의 조합으로도 도출될 수 있음이 드러나며, 이 연결이 오랫동안 눈에 띄지 않았던 이유에 대한 논의가 함께 이어짐

Erdős Problem #281 — 논의의 핵심 정리

• Erdős #281은 무한히 많은 합동식이 주어졌을 때, 그 합동식들을 어떻게 선택하더라도 결국 거의 모든 정수가 그중 하나에는 포함되는 상황을 전제로 한 문제
• 모든 합동식을 다 적용하면 아무 합동식에도 속하지 않는 정수가 거의 남지 않는다는 성질을 이미 알고 있다는 설정
• 이 성질이 성립한다면, 실제로는 무한히 많은 합동식을 끝까지 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 같은 효과가 나타나는지에 대한 의문 제기
• 무한 단계에서 성립하는 결과가 유한 단계에서도 자동으로 보장되는지에 대한 질문 구조
• 최악의 잔여류 선택을 항상 허용하는 조건 아래에서 유한 개의 합동식만으로 충분하다고 말할 수 있는지에 대한 난점 존재

Neel Somani와 GPT-5.2 Pro 풀이의 접근 방식

• 개별 정수를 하나씩 따지는 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 보고 밀도 개념으로 문제를 다루는 접근
• 처음 k개의 합동식을 피하는 정수들의 집합을 하나의 대상으로 설정하는 방식
• k가 커질수록 이 집합이 점점 줄어들고, 무한 단계에서의 결과로 수렴하는 구조 활용
• 무한히 많은 합동식을 모두 피하는 정수가 거의 없다는 가정으로부터 유한 단계에서도 충분히 작아질 수밖에 없다는 논리 전개
• 극한과 평균, 이동 성질을 이용한 전체적 흐름 구성

검토 과정과 논의의 전개

• 제시된 풀이에서 극한을 취하는 순서와 평균을 다루는 과정의 정당성에 대한 집중 검토
• 일부 단계에서 추가 설명과 보완이 필요하다는 지적 등장
• 여러 수학자들이 공개적으로 논리를 점검하며 단계별로 의미를 명확히 하는 과정 진행
• 결과적으로 논증의 핵심 구조가 유지된 채 더 명확한 형태로 다듬어진 흐름

고전 정리들과의 연결

• 동일한 결론이 과거에 알려진 정리들을 조합해서도 도출될 수 있음이 확인
• 무한히 많은 조건에서의 밀도 수렴을 다루는 결과와 유한 조건에서의 최악 경우를 설명하는 정리의 결합
• 이 연결을 통해 무한 단계의 성질이 유한 단계에서도 강하게 반영된다는 구조 드러남
• 왜 이러한 연결이 오랫동안 명확하게 정리되지 않았는지에 대한 논의 확산

왜 이 사례가 주목받는지

• 오래전에 제시된 문제가 AI 기반 풀이 제안을 계기로 다시 집중 조명된 사례
• AI가 완성된 답을 단독으로 제시했다기보다는, 새로운 관점으로 논의를 촉발
• 문제를 어떤 언어와 틀로 옮겨 생각하느냐에 따라 난이도가 크게 달라진다는 점이 확인됨