ChatGPT를 활용한 아마추어가 Erdős 문제를 풀다

• primitive set의 Erdős sum 최솟값이 1이고 원소들이 무한대로 갈수록 그 값에 가까워진다는 오래된 문제가, GPT-5.4 Pro가 만든 해법으로 풀린 것으로 받아들여짐
• 해법은 Liam Price가 한 번의 프롬프트로 얻어 erdosproblems.com에 올린 결과물이며, 이후 Kevin Barreto와 전문가들의 검토를 거치며 빠르게 주목받음
• 이번 증명은 사람들이 보통 택하던 첫 접근과 다른 경로를 따랐고, 관련 분야의 알려진 공식을 이 문제에 예상 밖으로 결합한 점이 두드러짐
• ChatGPT의 원본 증명은 그대로 쓰기에는 매우 거칠었고, 전문가가 핵심을 가려 이해한 뒤 더 짧고 정돈된 형태로 다듬어짐
• 저명한 수학자들도 풀지 못했던 문제에 LLM의 새로운 접근이 통했다는 점에서, 큰 수의 구조를 보는 방식과 비슷한 문제들을 묶는 관점에 변화를 줄 수 있음

문제와 해결 방식

• primitive set은 집합 안의 어떤 수도 다른 수로 나누어떨어지지 않는 정수 집합을 뜻함
  • Erdős는 이런 집합에 대해 계산하는 Erdős sum을 정의했고, 집합의 수들이 커질수록 이 점수가 내려간다고 봤음
  • 그 최솟값이 정확히 1이며, 집합의 원소들이 무한대로 갈수록 그 값에 가까워진다는 추측이 오랫동안 남아 있었음
• 이번 해법은 Liam Price가 GPT-5.4 Pro에 한 번의 프롬프트를 넣어 받은 뒤 erdosproblems.com에 올린 결과물임
  • Price는 문제의 배경사를 모른 채 Erdős 문제를 AI에 넣어보던 중 겉보기에는 맞는 해법을 얻음
  • 이후 Kevin Barreto와 함께 검토했고, 연락을 받은 전문가들이 빠르게 주목함
• 이전에도 AI가 여러 Erdős problems를 풀었다는 보도가 있었지만, 문제마다 중요도와 난도가 크게 달라 수학 실력을 재는 기준으로는 불완전했고, 겉보기보다 새롭지 않은 해법도 적지 않았음
  • 이번 결과는 저명한 수학자들도 풀지 못했던 문제를 다뤘고, 같은 유형의 문제에 쓰이지 않던 방법을 사용한 점에서 다르게 받아들여짐

왜 다르게 평가되는가

• 사람들은 이 문제를 풀 때 대체로 비슷한 첫 접근을 택했지만, 이번 LLM 해법은 완전히 다른 경로로 들어감
  • 관련 수학 분야에서는 잘 알려진 공식을 끌어왔지만, 이런 문제에 적용할 생각은 하지 못했던 조합이었음
• Terence Tao는 문제 자체가 생각보다 쉬웠을 수도 있고, 초반 접근에서 일종의 mental block이 있었던 것으로 짚음
• Jared Lichtman은 ChatGPT의 원본 증명이 그대로는 매우 거칠었고, 무엇을 말하려는지 전문가가 가려내고 이해하는 과정이 필요했다고 밝힘
  • 현재는 Lichtman과 Tao가 증명을 더 짧게 다듬어, LLM의 핵심 통찰이 더 잘 드러나도록 정리한 상태임
• 이번 도약은 큰 수와 그 구조를 바라보는 새로운 사고방식으로 이어질 수 있음
  • 장기적 중요성은 아직 확정하기 이르지만, 비슷한 문제들이 하나로 묶여 있다는 직관을 뒷받침하는 방법으로 받아들여지고 있음