당구를 너무 못 쳐서 쌍곡평면까지 가버렸다 [영상]

외부 당구(outer billiards) 는 공이 테이블 꼭짓점을 스치도록 이동한 뒤, 접촉점까지 온 거리만큼 더 나아가는 규칙을 반복하는 수학적 시스템임 출발점에 따라 주기 궤도가 달라지며, 평면의 각 점에 고유한 색을 부여하면 여러 출발점의 움직임과 반복 패턴을 함께 볼 수 있음 이동 경로가 테이블의 변을 따라가 어느 꼭짓점을 기준으로 움직일지 정할 수 없는 특이점이 생기며, 불규칙한 테이블에서는 이 특이점들이 조밀하게 분포함 Penrose Kite는 한정된 영역에 머물지 않는 궤도가 존재한다는 사실이 처음 증명된 테이블 모양으로, Richard Schwartz가 2007년에 발견함 유클리드 평면의 정사각형 타일링에서 쌍곡평면의 오각형 타일링으로 확장할 수 있지만, 다각형 타일링을 제외한 쌍곡 외부 당구에는 아직 모르는 것이 많음 외부 당구의 규칙, 주기와 특이점 일반적인 내부 당구(inner billiards) 에서는 공이 테이블 벽에 부딪혀 튕기며, 테이블이 직사각형이 아니면 경로를 예측하기 어려움 외부 당구에서는 공이 테이블 꼭짓점을 스치게 이동하고, 그 접촉점을 지난 뒤 같은 거리만큼 더 이동함 이 규칙을 반복하면 출발점에 따라 8회 또는 4회 이동 후 돌아오는 주기가 나타남 시각화 예시에는 주기 4의 영역 4개, 더 복잡한 영역 8개, 주기 12의 블록 12개가 나타남 평면의 모든 출발점에 고유한 색을 부여하면 1회, 2회, 4회 등 이동 횟수에 따른 변화를 함께 추적할 수 있음 평행사변형 테이블도 직사각형처럼 평면을 타일링함 두 영역 사이의 경계에서 시작한 공은 첫 이동이 정상이어도 두 번째 이동에서 테이블 변을 따라갈 수 있음 이때 어느 꼭짓점을 기준으로 이동할지 불분명해지는 지점이 특이점(singularity) 임 즉시 특이점이 되는 출발점과 선들이 있으며, 2단계, 3단계 또는 그 이후에 특이점에 도달하는 출발점도 있음 불규칙한 테이블에서는 특이점이 조밀하게 분포하고, 탐색 깊이를 늘릴수록 평면의 더 많은 부분을 채움 그럼에도 일부 영역은 특이점에 가로막히지 않은 채 남음 많은 공을 함께 이동시키면 전체 모양은 빠르게 뒤섞이지만, 각 안정된 영역 안에서의 이동은 모양을 보존하는 등거리변환(isometry) 임 따라서 하나의 주기 궤도를 이루는 각 영역은 같은 모양을 가짐 영상에는 작은 십각형 35개로 이루어진 주기 궤도 두 개가 등장함 Penrose Kite에서는 모든 출발점이 주기 궤도를 ...